如何理解加减乘除？这是一个刚刚开始学习数学的小学生会问的问题。没错，在我刚开始接触加减乘除的时候，我总是有这种疑问，为什么总价格除以价格得到的是单价？为什么加减乘除能代表这一切的数字关系，他们之间的算法是怎么得来的？

随着时间的推移，我记住了“总价格除以价格得到的是单价”，但是我却忘记了最初的疑问：“为什么要用它们之间去除？为什么除完之后就总是能得到一个固定的数？”

(资料图)

如今我已经全然忘记在最初老师是用的什么例子去介绍这些，已经忘记了当时学习这些所付出的艰辛。但是当我深入回忆的时候，我发现我并没有真正懂得这些四则运算的真正含义。直到我确认我考不上研究生在家里当蹲子的现在，我才真正试图去发现他们背后的真正意义。

让我们从最开始的数字说起。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9，为什么人们要创造出数字？这个问题等同于人类为何会具有对于数量的认知？这个问题显然是无法回答的，我无法想象一种没有数量认识的生活，这是人生来就有的能力，虽然这个能力只有发育到足够年龄才会获得。

在有了数量认知这个基础上，人们便开始创造数量文字来记录。

1 代表 一个 。 2 代表 两个。 3 代表 三个。诸如此类

我相信历史上一定有一个时期，类似四十二 六十八这种比较大的数字都有单独的符号。

在英语中dozen代表一打 12个应当是例子。

但是很快人们发现这种的数字符号是完全不够用的，无法表达十分大的数量，例如几百几千这种很大的数字。于是如何用有限的符号创造足够大的数字便成为了当时一项十分前沿的课题。那个时候的科学家或者叫做巫师这种职业的人便开始试图开创一种新型的科技，用有限的符号表示尽可能多的数量。

不难猜测在那个时候很多发现都非常容易，很多知识的取得并不需要过于深挖，某些定理和规律几乎就在浅表，那个时候做科研应当非常容易出成果吧，虽然那个时候的科学家的主要问题是怎么生存，虽然现在也是。

在某一天，远古的数学家开始思索，如何用有限的0-9表示诸如七十三这种数字，他于是在脑海中构思，1，2，3，4，5，6， 7，8，9，然后他遇到了一点困难，如何不用新造一个数字而表示十呢？于是他试着在9的后面加一个0 变成了 90，然后他又继续尝试，为表示十一，于是他又继续的添数，901，似乎事情朝着某些奇怪的地方发展了，但是他继续试着表示十二，于是就有了902，这看起来似乎有了某种规律，直到他遇到了909，当再次加一的时候此时应当是二十了，那么应当写作9090，于是他非常的开心，完全掌握规律了，那么七十三完全就可以写为909090909090903，那么一万七千六百九十二就完全可以写为：这确实是一个比较大的跨越。于是这个科学家的大脑宕机，然后在沉思中被猛兽吃掉了，这个问题于是失去了一个解决的它的天才，他那机智敏锐的大脑变成了猛兽肠道中的一坨粪便。不过我们还是要尊重他的在科研历史上不可磨灭的贡献。

或许有一个后辈偶然推导到和他相同的问题，而此时他可能是某个首领的后代而无需担忧被野兽吃掉，那么我们再次以一种远古富二代的视角来继续推导这个问题。

那么表示一万七千六百九十二这种在当时毫无现实意义的数学问题应当怎么推进呢？

其实问题的本质就是为了表达七十三就已经用了这么多位数，要表达诸如万这种数量那岂不是要爆掉当时最先进的计算机-----树枝+沙子的内存了么。问题的目标就是优化到尽可能少的数字位数去表达尽量大的数字，于是这个二代科学家就开始思考了：909090909090903这种占位最多的就是重复了，那我先给他去掉重复。他数了数作为七十而言，共有7个90，二十有2个90，为什么不直接用1-9来表示一共有几个十呢，于是他想到了作为一个十而言，可以直接写成10，两个十可以直接写成20，那么七个十可以直接写成70，他非常兴奋，于是从1开始数，数到十就是10 ，数到十一就是101，数到二十就是20，数到三十就是30，直到数到九十九909。他发现用这个方法，非常完美的解决了909090909090903过长的问题，而且更加的直观，十不再是90这种让人感到无解的形式了，而是10这种看起来比较优美的格式。但是这其中依然有优化的空间，优化一位，比如中间那个0在表示十一 二十一诸如此类的时候，可以直接写成11 ，21，那么九十九直接就可以写成99这种十分优雅的方式。

下面我们一起来欣赏这美妙的数数过程：1，2，3，4，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，51，52，53，54，55，56，57，58，59，60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，70，71，72，73，74，75，76，77，78，79，80，81，82，83，84，85，86，87，88，89，90，91，92，93，94，95，96，97，97，99.

而到了这一步，可以称之为数学历史上的一个小丰碑，但是前路依然精彩和漫长，还有很多未知等待人们去探索。比如99再多一位如何表示？再多1这个问题从表面来看就是十个十这么简单，10 再添加一个 0，写成100，这确实是一个在当时来看十分重大的问题，因为解决这个问题将会给人来带来一个新的工具：进制。确切的说，是10进制的诞生，即无论以后如何加，只需要按照这样一个准则，9多1，9位变0，前位多1，如此循环往复，便可无中生有，表示任何数字了。然后这个问题“表示一万七千六百九十二”，于是便可以轻松写作17692。

有了进制这种发明，数量关系变得更加容易表达，就好比有了文字之后，思想更容易交流。不得不感叹世界真是复杂又庞大，供人们探索几千年却依然存在很多未知。

并不知道进制和加减的概念哪一个先出现，但是这并不影响继续探究加减在进制上的应用。通过进制这种发明，人们更加容易地发现了更多的数字，于是针对这些数字又产生了新的发现，人们发现通过组合两个较少的数字可以形成一个更大的数字，这或许就是加法雏形，为了表达这个数量关系，加法符号于是就被发明出来了，加法运算于是也呼之欲出。

换言之，加法运算的本质即是组合的规律，而这一规律其实也是穷举出的，因为所有的数量关系的关系也只有这么有限的几个，如下 ： 

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2 

2 + 1 = 3

3 + 1 = 4

4 + 1 = 5

5 + 1 = 6

6 + 1 = 7

7 + 1 = 8

8 + 1 = 9

9 + 1 = 10

在这里我会解释一下为什么只有加 1 而没有诸如 2 + 3 = 5 这种，这是因为 2 + 3 = （1 + 1） + （2   +  1） =  2 + 1 + 1 + 1  = 3 + 1 + 1 = 4 + 1 = 5 ， 希望大家能看懂我表示的这个顺序。

这个顺序在这就不过多解释了，我在这里想要表达的意思是：其实加法就是一种数字本身的内在关系。这种抽象的类似多个事物间的组合关系可以被引申为解决各种在现实生活中的具体问题的数学模型，例如多个数量的组合关系，部分和整体的关系，都可以用这个数字系统来简洁确定的表示，但是注意它只是一个表示，并不是现实事物的本身。现实事物并不一定是单纯的数字数量，因为真实的世界可能是由一台超高速的计算机的模拟的梦境中的一个非常巨大的海洋中的一个大鱼的肚子里的某一个卵构成的多元宇宙宇宙中的某一个宇宙中的一颗恒星系上的一个星球里的尘埃里的一个微型宇宙。所以差不多够用就可以了。

那么减法的本质和加法就是一回事了，就是加法过程的逆过程，此处不多赘言。

来到让人心情澎湃的乘除法了，很快就能解决单价问题了。

乘法其实也是一种运算的表示，相信这一点大家都不难理解，乘法就是重复加法的一种化简表示。但是一句话概括容易，具体在实际运算的时候，整个系统又是怎么运作的呢？

我们来看一个例子 ： 23 x 76 = ?

要想计算这个数字我们一时半会还不能用竖式计算来计算 ， 别忘了我们现在还是远古时代的科学家，还在探索这个问题。

那么我们有什么取巧的办法么？

我们在前文中有得出过数和数字之间内在关系的结论，同时从定义出发，明白了乘法只是一个重复累加过程的表示。

那么很自然我们可以用这个方法来计算这个算式：我们将23拆分为 20 + 3 然后分别对其重复累加76次随后在将他们的结果加起来，但是为了尽量简化，我们再将76拆分为70 + 6，而此时的累加可以看成如下四步 ： 20 重复累加 70次 + 20 重复累加6次 + 3重复累加70次 + 3重复累加6次 。

那么到这一步可以计算了么？可以是可以，但是还有继续拆解的空间 ：

我们将20 拆解为 2 x 10 ,将 70拆解为7 x 10,于是我们的到 :

2 x 10 x 7 x 10 + 2 x 10 x 6 + 3 x 7 x 10 + 3 x 6

我们从前文推导出来的进制 已知10 x 10无非就是写作100,那么x100这种事无论前面是几，只需要把这个几写在前面就可以了。

从上面的式子我们可以发现，我们把任何一个乘法算式拆解成个位数和10的相乘，这样做的目的是把各式各样的乘法归纳到有限的方法中，这个目的其实和一开始发明进制是一样的，试图用有限的确定的事物去解释一切 去归纳一切 去预测一切

而乘法的这个规律很显然就是9 x 9乘法表，但是古人发现这个规律一定是不容易的，可能在 9 x 9乘法之前有类似于各种数字乘积大全一类的东西辅助计算，但是直到他们发现了这个乘法规律，也就是用有限数关系来完全概括任意数关系之后，乘法的计算才完全简化。（那么我在这里简单猜想一下，其实关于数本身关系人类还并未完全发掘完，印度有一个拉马努金十分热衷于推导各种数字之间的关系，很多神奇的公式一眼望上去根本不像是人类能够直接理解的。但是可能就类似9x9乘法表一样，其实在未来的小学生看来也是很基本的东西。假如在三角函数或者对数领域的数字关系取得了进展，也有了诸如乘法表这种实用简洁的工具之后，或许对数表这种东西就无需再出现了，任意对数或者任意三角函数能够使得任何小学生用加减乘除就能计算出来。在这里再多提一嘴卡马克的那个开平方根倒数的那个特指，其实也可以认为是某种来自未来的乘法表之类的东西，虽然无法直接一眼看懂他的做法，但是其实他的原理十分简单，就是一些数字的之间的操作的组合。然后这里又要提一嘴，图灵的老师，曾经设想过一种“全自动数学机器”，就是利用机器，自动尝试各种数学数字之间的组合，试图用穷举的办法来发现人类未能发现的隐藏的数学定理，用机器之力暴力破解宇宙，其实也可以看作是一种试图寻找通用“宇宙乘法表”的尝试）

我直接跳过了试图推导乘法算法的步骤，就类似推导之前那个加法公式一样，但是这显然是比加法复杂的多的，发明乘法计算其实是一个十分复杂的事情，中国古人留下99乘法表这种划时代的计算工具，借助这个工具其实可以引申出很多很优雅的计算方式（可以去看看我那个讲解乘法计算的视频），但是我们发现无论是英国人还是印度人，他们对乘法的归纳就显得十分的无奈，英国小学生有一个画线的算法，印度人直接把各种特值的数字分类讨论，在一个印度课堂上竟然有足足12种计算方法，无论哪种计算方法，都不及中国人的竖式计算高效和优雅（但是我认为我那个视频中的做法比传统竖式计算更优雅）

那么我们最终来到了除法，除法名字由来便是削除之法，它的目的是得出削除的次数

例如 81 ÷ 9 = 9 ，意思就是81每次削除9一共要削除9次，而余数便是经过削除之后，余留下的数。

而借助除法，便可以在现实生活中计算倍率、对比等概念的实际问题，两个事物之间相对比，就是用其中一个事物削除另一个事物，得出的结果便是他们的比较结果。而在货物价值的交换中也同样用到了这一概念，例如远古时期人们互相贸易，便要确定一种货物交换另一种货物的比例数量，而此时用除法，除法本质就是减法，就变成了两个事物之间对换的理论方式。

而单价便是一种除法的具体应用落地，用总价每次去削除它的质量，或者总价去削除它的个数，最终这个削除结果即商（商，贸易的意思，说不定一开始贸易的价格的制定就是除法的由来），人们拿着这个数值，由此为依据再进行货物的兑换。可以说经济其实也是建立在很多非常常见但人们却视而不见的理论之上的。

至此，加减乘除都被我解释了一番，行文至此，所思所想已尽数倾吐，于是便就此罢笔了